管材渦流檢測電磁場的有限元計算分析方法

  有限元分析法是近些年廣泛采用的數(shù)值解法，是將所要分析的連續(xù)場離散分割為很多較小區(qū)域(稱為單元或元素)，這些單元的集合體就代表原來的場，建立每個單元的求解公式，再組合起來，就能求解得到連續(xù)場的解答。這是一種從部分到整體的方法。從數(shù)學(xué)的角度來講，有限單元法是從變分原理出發(fā)，通過區(qū)域剖分和分片插值，把二次泛函數(shù)的極值問題化為普通多元二次函數(shù)的極值問題，后者又等價于一組多元線性代數(shù)方程的求解。因此求解渦流電磁場的大小和分布，要先把關(guān)于矢量磁勢的電磁場方程化為泛函變分問題，再對其進(jìn)行離散處理，將變分問題轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的極值問題，組成一個多元線性方程組，求解該方程組即可得到所求得關(guān)于矢量磁勢的電磁場方程的數(shù)值解。簡言之，有限元分析法可總體概括為三個階段，前處理、求解和后處理。前處理是建立有限元模型，完成單元網(wǎng)格劃分;后處理則是采集處理分析結(jié)果，使用戶能簡便提取信息，了解計算結(jié)果。通過有限元法，可以計算出合理的試驗參數(shù)，優(yōu)化試驗方法。

    對于不同物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型的問題，有限元求解法的基本步驟是相同的，只是具體公式推導(dǎo)和運算求解不同。有限元求解問題的基本步驟通常為:

  1. 求解域定義:  根據(jù)實際問題近似確定求解域的物理性質(zhì)和幾何區(qū)域。

  2. 求解域離散化:  將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個單元組成的離散域，習(xí)慣上稱為有限元網(wǎng)絡(luò)劃分。顯然單元越小(網(wǎng)絡(luò)越細(xì))則離散域的近似程度越好，計算結(jié)果也越精確，但計算量將增大，因此求解域的離散化是有限元法的核心技術(shù)之一。

  3. 確定狀態(tài)變量及控制方法:   一個具體的物理問題通?？梢杂靡唤M包含問題狀態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示，為適合有限元求解，通常將微分方程化為等價的泛函形式。

  4. 單元推導(dǎo):  對單元構(gòu)造一個適合的近似解，即推導(dǎo)有限單元的列式，其中包括選擇合理的單元坐標(biāo)系，建立單元泛函數(shù)，以某種方法給出單元各狀態(tài)變量的離散關(guān)系，從而形成單元矩陣。為保證問題求解的收斂性，單元推導(dǎo)有許多原則要遵循。對工程應(yīng)用而言，重要的是應(yīng)注意每一種單元的解題性能與約束。例如，單元形狀應(yīng)以規(guī)則為好，畸形時精度低，將導(dǎo)致無法求解。

  5. 總裝求解:  將單元總裝形成離散域的總矩陣方程(聯(lián)合方程組)，反映對近似求解域的離散域的要求，即單元函數(shù)的連續(xù)性要滿足一定的連續(xù)條件。總裝是在相鄰單元結(jié)點進(jìn)行，狀態(tài)變量及其導(dǎo)數(shù)(可能的話)連續(xù)性建立在結(jié)點處。

 6. 聯(lián)立方程組求解和結(jié)果解釋: 有限元法最終導(dǎo)致聯(lián)立方程組。聯(lián)立方程組的求解可用直接法、選代法和隨機(jī)法。求解結(jié)果是單元結(jié)點處狀態(tài)變量的近似值。對于計算結(jié)果的質(zhì)量，將通過與設(shè)計準(zhǔn)則提供的允許值比較來評價并確定是否需要重復(fù)計算。